Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O’交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于F

(1)求OA、OC的長；

(2)求證：DF為⊙O’的切線

(3)小明在解答本題時，發現△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙O’外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在矩形OABC中，設OC＝x則OA＝x＋2，依題意得 　　x(x＋2)＝15解得：x1＝3，x2＝－5 　　x2＝－5(不合題意，舍去)所以OC＝3，OA＝5……(3分) 　　(只要學生寫出OC＝3，OA＝5，即給3分) 　　(2)連接O’D 　　在矩形OABC中，OC＝AB， 　　 　　所以⊿OCE≌⊿ABE 　　所以EA＝EO 　　所以∠1＝∠2 　　在⊙O’中，因為O’O＝O’D 　　所以∠3＝∠1 　　所以∠3＝∠2 　　所以O’D／／AE 　　因為DF⊥AE 　　所以DF⊥O’D 　　又因為點D在⊙O’上，O’D為⊙O’的半徑，所以DF為⊙O’的切線……(6分) 　　(3)不同意，理由如下： 　　①當OA＝AP時，以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點過P1點作P1H⊥OA于點H，P1H＝OC＝3，因為AP1＝OA＝5 　　所以AH＝4，所以OH＝1 　　求得點P1(1，3) 　　同理可得：P4(9，3)……(8分) 　　②當OA＝OP時，同上可求得P2(4，3)，P3(－4，3)……(10分) 　　因此，在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O’內的點P1，又存在⊙O’內的點P2、P3、P4，它們分別使⊿AOP為等腰三角形……(11分) 　　其他解法，請參照評分建議酌情給分．