Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．

（1）求該拋物線的函數關系式與直線AB的函數關系式；

（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l，分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？

（3）在（2）問條件下，當△BDE恰妤是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M'，將OM'繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；

①探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉，始終保持不變，若存在，試求出P點坐標：若不存在，請說明理由；

②試求出此旋轉過程中，（NANB）的最小值．

Answer 1

【答案】yx2x，直線AB的解析式為：yx；（2）當m=﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；（3）①存在，P（0，3）；②．

【解析】

（1）根據A和C的坐標設出兩點式，再代入點B的坐標，即可求出拋物線的解析式；設直線AB的解析式為y=kx+n，將A和B的坐標代入求解，即可得出直線AB的解析式；

（2）根據點M的坐標寫出點D的坐標，作BG⊥DE于點D得出GM=OB，代入求解即可得出答案；

（3）①假設存在，證出△NOP∽△BON得出即可得出答案；②結合①得出（NANB）的最小值=NA+NP，此時N，A，P三點共線，計算即可得出答案.

解：（1）設拋物線解析式為y= a(x+6)(x﹣1)，（a≠0）．

將B（0，）代入，得a(x+6)(x﹣1)，

解得：a，

∴該拋物線解析式為y（x+6）（x﹣1）或yx2x．

設直線AB的解析式為y=kx+n（k≠0）．

將點A（﹣6，0），B（0，）代入，得

，

解得，

則直線AB的解析式為：yx；

（2）∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，∴D（m，m），

當DE為底時，如圖1，作BG⊥DE于G，則EG=GDED，GM=OB，

∵DM+DG=GM=OB，

∴m(m2mm)，

解得：m1=﹣4，m2=0（不合題意，舍去），

∴當m=﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；

（3）①存在，如圖2．

∵ON=OM'=4，OB，

∵∠NOP=∠BON，

∴當△NOP∽△BON時，，

∴不變，

即OPON4=3，

∴P（0，3）；

②∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，，

∴NPNB，

∴（NANB）的最小值=NA+NP，

∴此時N，A，P三點共線，

∴（NANB）的最小值3．