Question

（2005•天水）己知Rt△ABC的兩個銳角A、B的正切值恰好是關于x的一元二次方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=0的兩個根，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：因為Rt△ABC的∠A、∠B兩個角為銳角，所以其正切值都大于零．根據正切值的定義和已知條件可知，銳角A、B的正切值之積為1，又因為銳角A、B的正切值之積正好等于一元二次方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=O的兩根之積，由此得到關于m的方程，從而可以求出m的值．
解答：解：∵∠A、∠B為Rt△ABC的兩個銳角，
∴tanA＞0，tanB＞0，且tanA•tanB=1．
又∵tanA、tanB是方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=0的兩個根，
根據根與系數的關系可得：tanA•tanB=，
∴．
解得m₁=-1，m₂=2．
當m=-1時，tanA+tanB=-11＜0，
這與tanA＞0，tanB＞0相矛盾，所以m=-1不合題意，舍去；
當m=2時，tanA+tanB=＞0．
又△＞0，
∴m=2．
點評：解答此題時一定要注意兩個銳角的正切值都大于零，且注意兩角互余時，兩角的正切值之積為1，同時也要檢驗判別式．