Question

在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a≤b．取AD的中點P，連接PB、PC．
（1）試判斷三角形PBC的形狀；
（2）在線段BC上，是否存在點M，使AM⊥MD？若存在，請求出BM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據已知條件，得到四邊形ABCD為直角梯形或矩形．
（1）過點P作PQ⊥BC，易證PQ=BQ=QC，則△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．
（2）判斷在線段BC上，是否存在點M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性質與判定得出即可．
解答：解：（1）在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥DC．
又∵AB=a，DC=b，且a≤b，
∴四邊形ABCD為直角梯形（或矩形）．
過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，
∴PQ∥AB，
又∵點P是AD的中點，
∴點Q是BC的中點，
又∵PQ=（AB+CD）=（a+b）=BC，
∴PQ=BQ=QC．
∴△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形．
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°，PB=PC，
即△PBC是等腰直角三角形．

（2）存在點M，使AM⊥MD．
理由是∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
當=時，△ABM∽△MCD，
∴∠BAM=∠DMC，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠AMB+∠DMC=180°-90°=90°，
∴∠AMD=90°，
此時AM⊥DM，
代入得：=，
整理得出：BM²-（a+b）BM+ab=0，
（BM-a）（BM-b）=0，
∴BM=b或BM=a，
綜合上述：在線段BC上，存在點M，使AM⊥MD，BM的長是a或b．
點評：根據BC=a+b，聯想到梯形的中位線定理，得到過點P作PQ⊥BC這條輔助線是解決本題的關鍵．
并且本題把判斷M點是否存在的問題轉化成了探討圓與直線的交點的問題．