Question

4．如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．
（1）試說明CD垂直于AB；
（2）求證：DE平分∠BDC；
（3）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

分析 （1）分別證明D在AB的垂直平分線上，C也在AB的垂直平分線上，即可解決問題．
（2）只要證明∠CDE=∠BDE=60°即可．
（3）首先證明△DCM是等邊三角形，再證明△ADC≌△EMC，即可推出ME=AD=BD．

解答 證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴BD=AD．
∴D在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分線上，
∴直線CD是線段AB的垂直平分線．

（2）∵CD是線段AB的垂直平分線，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°，
∴∠CDE=∠BDE，
∴DE平分∠BDC．

（3）如圖，連接MC．
∵DC=DM，∠MDC=60°，
∴△DMC是等邊三角形．
∴CM=CD，∠DMC=∠CDM=60°，
∴∠ADC=∠EMC=120°，
在△ADC和△EMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠EMC}\\{∠DAC=∠MEC}\\{AC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=BD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型．