Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同側分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓．圖中陰影部分的面積分別記作為S₁和S₂．
（1）求證：S₁+S₂=S_△ABC；
（2）若Rt△ABC的周長是2+，斜邊長為2，求圖中陰影部分面積的和．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²
∴S₁+S₂=π（AC）²+π（BC）²-π（AB）²+S_△ABC
=π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．
（2）∵AB+AC+BC=2+，AB=2，
∴AC+BC=．
兩邊平方得：AC²+BC²+2AC•BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC•BC=2，AC•BC=1．
∴S_△ABC=AC•BC=．
∴圖中陰影部分面積的和為．
分析：（1）根據題給圖形可知：S₁+S₂=π（AC）²+π（BC）²-π（AB）²+S_△ABC，又在Rt△ABC中BC²+AC²=AB²，繼而即可得出答案；
（2）要求陰影部分的面積求出Rt△ABC的面積即可，也即求出AC•BC即可．
點評：本題考查勾股定理的知識，解題關鍵是找出各個圖形之間的關系，證得S₁+S₂=S_△ABC，難度一般．