Question

（2007•南平）如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點P在AC上，將△ABP繞頂點B沿順時針方向旋轉90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度數；
（2）當AB=4，AP：PC=1：3時，求PQ的大小；
（3）當點P在線段AC上運動時（P不與A重合），請寫出一個反映PA²，PC²，PB²之間關系的等式，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有PCQ=90°．
（2）由等腰直角三角形的性質知，AC=4，根據已知條件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．
（3）由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ²=2PB²=PA²+PC²．
解答：解：（1）由題意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．

（2）當AB=4，AP：PC=1：3時，有AC=4，AP=，PC=3，
∴PQ==2．

（3）存在2PB²=PA²+PC²，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∵AP=CQ，
∴PQ²=PC²+CQ²=PA²+PC²，
故有2PB²=PA²+PC²．
點評：本題利用了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理求解．