Question

給出一組式子：3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，9²+40²=41²，11²+60²=61²，…
（1）請你觀察給出的式子，找出一些規律并寫出，運用所發現的規律給出第10個式子，并利用計算器驗證所得式子的正確性；
（2）已知：2003²+p²=q²，其中p，q為連續正整數，且q=p+1，用較為簡便的方法寫出p和q的值，并利用計算器驗證它的正確性．

Answer 1

解：（1）①這些式子每個都呈a²+b²=c²（a，b，c為正整數）的形式．②每個等式中a是奇數，b為偶數（實際上還是4的倍數），c奇數．③c=b+1．④各個式子中，a的取值依次為3，5，7，9，11，是連續增大的奇數．⑤各個式子中，b的取值依次為4，12，24，40
猜想：第10個式子為21²+220²=221²

（2）∵2003²+p²=q²，q=p+1，
∴2003²=q²-p²=（p+1）²-p²=2p+1
∴p=（2003²-1）÷2=2006004
∴q=p+1=2006005．
分析：3²+4²=5²，即（2×1+1）²+{[（2×1+1）²-1]÷2}²={[（2×1+1）²-1]÷2+1}²，
5²+12²=13²，即（2×2+1）²+{[（2×2+1）²-1]÷2}²={[（2×2+1）²-1]÷2+1}²，
7²+24²=25²，即（2×3+1）²+{[（2×3+1）²-1]÷2}²={[（2×3+1）²-1]÷2+1}²，
9²+40²=41²，即（2×4+1）²+{[（2×4+1）²-1]÷2}²={[（2×4+1）²-1]÷2+1}²，
11²+60²=61²，即（2×5+1）²+{[（2×5+1）²-1]÷2}²={[（2×5+1）²-1]÷2+1}²，
…
則（2×10+1）²+{[（2×10+1）²-1]÷2}²={[（2×10+1）²-1]÷2+1}²，即21²+220²=221²．
（2n+1）²+{[（2n+1）²-1]÷2}²={[（2n+1）²-1]÷2+1}²，即（2n+1）²+[2n（n+1）]²=[2n（n+1）+1]²．
點評：本題的規律為：（2n+1）²+{[（2n+1）²-1]÷2}²={[（2n+1）²-1]÷2+1}²，即（2n+1）²+[2n（n+1）]²=[2n（n+1）+1]²．