Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C。
（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；
（2）若PC=，求⊙O的半徑和線段PB的長；
（3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍。

Answer 1

解：（1）AB=AC， 理由如下：連接OB， ∴AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90 °， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC； （2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r， 又∵PC=， ∴ 由（1）AB=AC得，解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直徑， ∴∠PBD=90°=∠PAC， ∴∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA。 ∴，即，解得； （3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN， 則OE=AC=AB=， 又∵圓O要與直線MN交點， ∴OE=≤r ∴r≥ 又∵圓O與直線l相離， ∴r＜5， ∴⊙O的半徑r的取值范圍為≤r＜5。