Question

已知△ABC是等腰三角形，∠A是頂角，分析如下說法：
①如果∠B與∠C的平分線相交于O，則△OBC是等腰三角形．
②如果AB，AC兩邊上的高線相交于O，則△OBC是等腰三角形．
③如果AB，AC兩邊上的中線相交于O，則△OBC是等腰三角形．
④在上述任何一種情況下，都有AO⊥BC．
以上說法中，正確的有

1. A.
   4個
2. B.
   3個
3. C.
   2個
4. D.
   1個

Answer 1

A
分析：此題應先畫出圖形，然后利用等腰三角形底角相等的性質來求解．
解答：①因為△ABC是等腰三角形，∠A是頂角，
所以∠B=∠C，∠B與∠C的平分線相交于O，
則∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正確；
②若AB，AC兩邊上的高線相交于O，
則CE⊥AB且交AB于E，BF⊥AC交AC于F，
因為∠B=∠C，BC=BC，所以△CEB≌△CBF，
所以∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正確；
③如果AB，AC兩邊上的中線相交于O，
設CE交AB于E，BF交AC于F，
因為是等腰三角形，所以AE=BE，CF=AF，
又∠B=∠C，BC=BC，根據SAS可得△CEB≌△CBF，
所以∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正確；
④因為上述任何一種情況都滿足△OBC是等腰三角形，
所以AO的延長線必定過BC中點，且AO⊥BC，正確．
故選A．
點評：此題考查了等腰三角形的判定；找準每個問題的正確的原因是解答本題的關鍵．