Question

如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20都是“神秘數”
（1）28和2 012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？
（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？
（3）兩個連續奇數的平方數（取正數）是神秘數嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）28=4×7=8²﹣6²；2012=4×503=504²﹣502²，
所以是神秘數．
（2）（2k+2）²﹣（2k）²=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k構造的神秘數是4的倍數．
（3）設兩個連續奇數為2k+1和2k﹣1，
則（2k+1）²﹣（2k﹣1）²=8k，
∴兩個連續奇數的平方差不是神秘數．