Question

如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結論正確的
是

 

．
①P在∠A的平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．

Answer 1

分析：首先根據角平分線上點的性質，推出①正確，然后通過求證△ARP和△ASP全等，推出②正確，再根據AQ=PQ，推出相關角相等，通過等量代換即可得∠QPA=∠QAR，即可推出③正確，依據等邊三角形的性質和外角的性質推出∠PQS=∠B，便可推出結論④．

解答：解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴P在∠A的平分線上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
∵

AP=AP PR=PS

，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，
∵

∠PQS=∠B ∠PRB=∠PSQ PS=PR

，
∴△BRP≌△QSP（AAS），
∴①②③④項四個結論都正確，
故答案為①②③④．

點評：本題主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊對等角，直角三角形的性質，平行線的判定，關鍵在于熟練運用等邊三角形的性質、全等三角形的判定定理，認真推理計算相關的等量關系．