Question

【題目】如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連接EF．

（1）試探究△A′DE的形狀，請說明理由；

（2）當四邊形EDD′F為菱形時，判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△A′DE是等腰三角形，理由見解析；（2）△A′DE與△EFC′全等，理由見解析.

【解析】

（1）先證明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判斷△DA′E的形狀；

（2）由四邊形DEFD′是菱形，可得EF=DE=DA′，EF∥DD′，繼而可得∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，再由CD∥C′D′，可得∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，繼而根據ASA即可得答案.

（1）△A′DE是等腰三角形．

理由：∵△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，

∴CD=DA=DB，

∴∠DAC=∠DCA，

∵A′C′∥AC，

∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，

∴∠DA′E=∠DEA′，

∴DA′=DE，

∴△A′DE是等腰三角形；

（2）∵四邊形DEFD′是菱形，

∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，

∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，

∵CD∥C′D′，

∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，

在△A′DE和△EFC′中，

，

∴△A′DE≌△EFC′．