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已知,如圖,二次函數y=ax2+2ax-3a(a≠0)圖象的頂點為H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右側),點H、B關于直線l:對稱.
(1)求A、B兩點坐標,并證明點A在直線l上;
(2)求二次函數解析式;
(3)過點B作直線BK∥AH交直線l于K點,M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點,連接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

【答案】分析:(1)求出方程ax2+2ax-3a=0(a≠0),即可得到A點坐標和B點坐標;把A的坐標代入直線l即可判斷A是否在直線上;
(2)根據點H、B關于過A點的直線l:對稱,得出AH=AB=4,過頂點H作HC⊥AB交AB于C點,求出AC和HC的長,得出頂點H的坐標,代入二次函數解析式,求出a,即可得到二次函數解析式;
(3)解方程組,即可求出K的坐標,根據點H、B關于直線AK對稱,得出HN+MN的最小值是MB,過點K作直線AH的對稱點Q,連接QK,交直線AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
解答:解:(1)依題意,得ax2+2ax-3a=0(a≠0),
兩邊都除以a得:
即x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∵B點在A點右側,
∴A點坐標為(-3,0),B點坐標為(1,0),
答:A、B兩點坐標分別是(-3,0),(1,0).

證明:∵直線l:
當x=-3時,
∴點A在直線l上.

(2)∵點H、B關于過A點的直線l:對稱,
∴AH=AB=4,
過頂點H作HC⊥AB交AB于C點,

∴頂點
代入二次函數解析式,解得
∴二次函數解析式為
答:二次函數解析式為

(3)直線AH的解析式為
直線BK的解析式為

解得

則BK=4,
∵點H、B關于直線AK對稱,K(3,2),
∴HN+MN的最小值是MB,
過K作KD⊥x軸于D,作點K關于直線AH的對稱點Q,連接QK,交直線AH于E,
則QM=MK,,AE⊥QK,
∴根據兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,
∴∠BKQ=∠HEQ=90°,
由勾股定理得QB===8,
∴HN+NM+MK的最小值為8,
答:HN+NM+MK和的最小值是8.
點評:本題主要考查對勾股定理,解二元一次方程組,二次函數與一元二次方程,二次函數與X軸的交點,用待定系數法求二次函數的解析式等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵,此題是一個綜合性比較強的題目,有一定的難度.
練習冊系列答案
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(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)在直線x=m(m>2)上有一點P(點P在第一象限),使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似,求P點的坐標(用含m的代數式表示);
(3)在(2)成立的條件下,試問:拋物線y=x2-4上是否存在一點Q,使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q,請求出m的值;如果不存在,請簡要說明理由.

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(1)求這個二次函數的解析式;
(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使銳角△AOB的面積等于3.求點B的坐標;
(3)對于(2)中的點B,在拋物線上是否存在點P,使∠POB=90°?若存在,求出點P的坐標,并求出△POB的面積;若不存在,請說明理由.

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3
3
x+
3
對稱.
(1)求A、B兩點坐標,并證明點A在直線l上;
(2)求二次函數解析式;
(3)過點B作直線BK∥AH交直線l于K點,M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點,連接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

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(2013•閘北區一模)已知:如圖,二次函數y=
2
3
x2-
4
3
x-
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3
的圖象與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),拋物線的頂點為Q,直線QB與y軸交于點E.
(1)求點E的坐標;
(2)在x軸上方找一點C,使以點C、O、B為頂點的三角形與△BOE相似,請直接寫出點C的坐標.

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(2)寫出該二次函數的對稱軸和頂點坐標;
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