Question

如圖，L₁，L₂，L₃是同一平面內的三條平行直線，L₁與L₂間的距離是1，L₂與L₃間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在L₁，L₂，L₃上，求△ABC的邊長．

Answer 1

分析：根據題意作高AE，BG，CF（如圖1）．根據等邊三角形及直角三角形的性質，設AD=x，則AC=3x，于是DG=

x

2

，BG=

3

2

•3x=

3 3

2

x．根據三角形相似根據其相似比可求出DF，DE的長，再根據勾股定理即可解答．

解答：解：解法一：作高AE，BG，CF（如圖1）．
設AD=x，則AC=3x，于是DG=

x

2

，BG=

3

2

•3x=

3 3

2

x．
由Rt△BDG∽Rt△CDF，
∴

BG

CF

=

DG

DF

，即

3 3 2 x

2

=

x 2

DF

，
∴DF=

2

3 3

，
∴DE=

1

3 3

，因此AD²=AE²+DE²=1+

1

27

=

28

27

，
∴AD=

28 27

，
∴AC=3x=3×

28 27

=

2 21

3

．

解法二：如圖2，過A，C作AE，CF垂直于L₂，點E，F是垂足，
將Rt△BCF繞點B逆時針旋轉60°至Rt△BAD處，延長DA交L₂于點G．
由作圖可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=

4 3

3

．
在Rt△ABD中，AB=

BD2+AD2

=

( 4 3 3 )2+22

=

2 21

3

．

解法三：如圖3，設點B關于L₃的對稱點是E，連接AE，CE，延長EB交L₁于點G，則CE=CB，
∵CA=CB，
∴點A，B，E在以C為圓心，CA為半徑的圓上，
∴∠AEB=

1

2

∠ACB=30°，設AG=x，
在Rt△AEG中，AE=2x，而GE=5，
∴4x²=x²+25，得x²=

25

3

．
在Rt△ABG中，
∵AB²=BG²+AG²=1+

25

3

，
∴AB=

2 21

3

．

點評：此題比較復雜，結合了平行線的性質，等腰三角形，直角三角形的性質，是一道具有一定綜合性的好題．