Question

如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=4，點E沿A→D方向在線段AD上運動，點F沿D→A方向在線段DA上運動，點E、F速度都是每秒2個長度單位，E、F兩點同時出發，且當E點運動到D點時兩點都停止運動，設運動時間是t（秒）．
（1）當 0＜t＜2時，判斷四邊形BCFE的形狀，并說明理由；
（2）當0＜t＜2時，射線BF、CE相交于點O，設S_△FEO=y，求y與t之間的函數關系式；
（3）問射線BF與射線CE所成的銳角是否能等于60°？若有可能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結BE、CF，則AE=2t，DF=2t，易證得Rt△ABE≌Rt△DCF，得到BE=CF，由于EF∥BC，EF≠BC，所以可判斷四邊形BCFE為等腰梯形；
（2）過O點作MN⊥AD于M，交BC于N，由EF∥BC，根據三角形相似的判定方法得△OEF∽△OCB，則=，即=，解得OM=，然后根據三角形面積公式可得到y與t的函數關系；
（3）討論：當0＜t＜2時，∠ABE和∠DCF都小于45°，則△OBC為鈍角三角形，則∠EOB=60°，所以∠OCB=∠OBC=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CH=EH=4，得到AE=8-4，此時t==（4-2）s；當2≤t≤4時，BF與CE相交于O點，∠BOC=60°，同理可得四邊形BCEF為等腰梯形，則∠DOE=30°，得到ED==，則AE=8-，利用速度公式得到此時t==（4-）s．
解答：解：（1）四邊形BCFE為等腰梯形．理由如下
連結BE、CF，如圖，
∵AE=2t，DF=2t，
∴AE=DF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF，
而EF∥BC，EF≠BC，
∴四邊形BCFE為等腰梯形；

（2）過O點作MN⊥AD于M，交BC于N，如圖，
則MN⊥BC，
∴MN=AB=4，
則EF=8-2t-2t=4t，
∵EF∥BC，
∴△OEF∽△OCB，
∴=，即=，解得OM=，
∴y=OM•EF=××（8-2t），
即y=；

（3）存在．理由如下：
當0＜t＜2時，∠ABE和∠DCF都小于45°，則△OBC為鈍角三角形，
若射線BF與射線CE所成的銳角等于60°，即∠EOB=60°，所以∠OCB=∠OBC=30°，
作EH⊥BC于H，則EH=4，
∴CH=EH=4，
∴BH=8-4，
∴AE=8-4，
∴t==（4-2）s；
當2≤t≤4時，BF與CE相交于O點，如圖，
若射線BF與射線CE所成的銳角等于60°，即∠BOC=60°，
同理可得四邊形BCEF為等腰梯形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠DOE=30°，
∴ED==，
∴AE=8-，
∴t==（4-）s．
∴當t=（4-2）s或（4-）s時，射線BF與射線CE所成的銳角等于60°．
點評：本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握矩形的性質以及等腰梯形的判定；會運用三角形相似的性質和含30度的直角三角形三邊的關系進行幾何計算．