Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，過(guò)點(diǎn)D作PQ∥AB分別交CA、CB延長(zhǎng)線于P、Q，連接BD．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）求證：BD2=ACBQ；
（3）若AC、BQ的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x+ =m的兩實(shí)根，且tan∠PCD= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ∥AB，

∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，

∵∠ACD=∠BCD，

∴∠BDQ=∠ACD，

如圖1，連接OB，OD，交AB于E，

則∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，

在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，

∴2∠ODB+2∠O=180°，

∴∠ODB+∠O=90°，

∴PQ是⊙O的切線

（2）證明：如圖2，連接AD，

由（1）知PQ是⊙O的切線，

∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，

∴AD=BD，

∵∠DBQ=∠ACD，

∴△BDQ∽△ACD，

∴ = ，

∴BD2=ACBQ

（3）解：方程x+ =m可化為x2﹣mx+4=0，

∵AC、BQ的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x+ =m的兩實(shí)根，

∴ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，

∴BD2=4，

∴BD=2，

由（1）知PQ是⊙O的切線，

∴OD⊥PQ，

∵PQ∥AB，

∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，

∵tan∠PCD= ，

∴tan∠ABD= ，

∴BE=3DE，

∴DE2+（3DE）2=BD2=4，

∴DE= ，

∴BE= ，

設(shè)OB=OD=R，

∴OE=R﹣ ，

∵OB2=OE2+BE2，

∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2，

解得：R=2 ，

∴⊙O的半徑為2

【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，連接OB，OD，交AB于E，根據(jù)圓周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）證明：連接AD，根據(jù)等腰三角形的判定得到AD=BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切線，由切線的性質(zhì)得到OD⊥PQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE=3DE，根據(jù)勾股定理得到BE= ，設(shè)OB=OD=R，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的分式方程的解和圓周角定理，需要了解分式方程無(wú)解（轉(zhuǎn)化成整式方程來(lái)解,產(chǎn)生了增根;轉(zhuǎn)化的整式方程無(wú)解）；解的正負(fù)情況:先化為整式方程,求整式方程的解；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半才能得出正確答案．