Question

已知AP是半圓O的直徑，點C是半圓O上的一個動點（不與點A、P重合），聯結AC，以直線AC為對稱軸翻折AO，將點O的對稱點記為O₁，射線AO₁交半圓O于點B，聯結OC．

（1）如圖1，求證：AB∥OC；
（2）如圖2，當點B與點O₁重合時，求證：；
（3）過點C作射線AO₁的垂線，垂足為E，聯結OE交AC于F．當AO=5，O₁B=1時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對稱性得出∠OAC=∠O₁AC，再利用等邊對等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O₁AC，求出AB∥OC即可；
（2）由點O₁與點O關于直線AC對稱，AC⊥OO₁，由點O₁與點B重合，可得AC⊥OB，再利用垂徑定理推論得出AB=CB；
（3）分別根據當點O₁在線段AB上以及當點O₁在線段AB的延長線上時分別求出AE的長即可得出答案．
解答：解：（1）∵點O₁與點O關于直線AC對稱，
∴∠OAC=∠O₁AC．
在⊙O中，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C．
∴∠C=∠O₁AC，
∴O₁A∥OC，
即AB∥OC；

（2）方法一：如圖2，連結OB．
∵點O₁與點O關于直線AC對稱，AC⊥OO₁，
由點O₁與點B重合，可得AC⊥OB．
∵點O是圓心，AC⊥OB，
∴AB=CB，

方法2：∵點O₁與點O關于直線AC對稱，
∴AO=AO₁，CO=CO₁，
由點O₁與點B重合，可得 AO=AB，CB=CO，
∵OA=OC，
∴AB=CB．
∴AB=CB，

（3）當點O₁在線段AB上（如圖3），過點O作OH⊥AB，垂足為H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁+O₁B=AO+O₁B=6，
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB=3．
∴AE=EH+AH=5+3=8，
∵AB∥OC，
∴==，
當點O₁在線段AB的延長線上，如圖4，
過點O作OH⊥AB，垂足為H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁-O₁B=AO-O₁B=4，
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB=2．
∴AE=EH+AH=5+2=7，
∵AB∥OC，
∴==．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及垂徑定理和關于直線對稱的性質等知識，利用數形結合以及分類討論的思想得出是解題關鍵．