Question

【題目】我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積．若改用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示，其形式為：設(shè)為三角形三邊，為面積，則，這是中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶之一．而在文明古國古希臘，也有一個(gè)數(shù)學(xué)家海倫給出了求三角形面積的另一個(gè)公式，若設(shè)（周長的一半），則

（1）嘗試驗(yàn)證．這兩個(gè)公式在表面上形式很不一致，請你用以為三邊構(gòu)成的三角形，分別驗(yàn)證它們的面積值；

（2）問題探究．經(jīng)過驗(yàn)證，你發(fā)現(xiàn)公式①和②等價(jià)嗎？若等價(jià)，請給出一個(gè)一般性推導(dǎo)過程（可以從或者）；

（3）問題引申．三角形的面積是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)幾何度量值，很多數(shù)學(xué)家給出了不同形式的計(jì)算公式．請你證明如下這個(gè)公式：如圖，的內(nèi)切圓半徑為，三角形三邊長為，仍記，為三角形面積，則．

Answer 1

【答案】（1）；（2）公式和等價(jià)；推導(dǎo)過程見解析；（3）見解析．

【解析】

分別將5,7,8代入兩個(gè)公式計(jì)算驗(yàn)證即可；

求出，把①中根號內(nèi)的式子可化為：

，即可得出結(jié)論；

連接，，由三角形面積公式即可得出結(jié)論．

解：由得：，

由得：，

；

公式和等價(jià)；推導(dǎo)過程如下：

，

，

中根號內(nèi)的式子可化為：

，

；

連接，如圖所示：

．