Question

已知：在平面直角坐標系中，一次函數y=x+3的圖象與y軸相交于點A，二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A、B（1，0），D為頂點．
（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）將上述二次函數的圖象沿y軸向上或向下平移，使點D的對應點C在一次函數y=x+3的圖象上，求平移后所得圖象的表達式；
（3）設點P在一次函數y=x+3的圖象上，且S_△ABP=2S_△ABC，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點A的坐標，再將點A（0，3）、B（1，0）代入二次函數y=-x²+bx+c，可得方程組，解方程組求解即可得到二次函數的解析式；
（2）平移后的圖象解析式為y=-（x+1）²+k．根據點C（-1，k）在一次函數y=x+3的圖象上，可得關于k 的方程，求得k的值，從而即可求出平移后所得圖象的表達式；
（3）先根據兩點間的距離公式得到AC的長，由S_△ABP=2S_△ABC，可得AP=2AC，再分（ⅰ）當點P在線段CA的延長線上時；（ⅱ）當點P在線段AC的延長線上時；兩種情況討論即可求解．
解答：解：（1）∵由x=0，得y=3．
∴點A的坐標為A（0，3）．
∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A（0，3）、B（1，0），
∴，
解得．
∴所求二次函數的解析式為y=-x²-2x+3．頂點D的坐標為D（-1，4）．

（2）設平移后的圖象解析式為y=-（x+1）²+k．
根據題意，可知點C（-1，k）在一次函數y=x+3的圖象上，
則-1+3=k
解得k=2．
故所求圖象的表達式為y=-（x+1）²+2．

（3）設直線x=-1與x軸交于點E．
由（2）得  C（-1，2）．
又由  A（0，3），得AC==．
根據題意，設點P的坐標為P（m，m+3）．
∵△ABP與△ABC同高，
于是，當S_△ABP=2S_△ABC時，得AP=2AC=2．
此時，有兩種不同的情況：
（ⅰ）當點P在線段CA的延長線上時，得CP=CA+AP=3，且m＞0．
過點P作PQ₁垂直于x軸，垂足為點Q₁．
易得=．
=，
解得m=2．
m+3=5．
∴P₁（2，5）．
（ⅱ）當點P在線段AC的延長線上時，得 CP=AP-CA=，且m＜0．
過點P作PQ₂垂直于x軸，垂足為點Q₂．
易得=．
=，
解得m=-2．
m+3=1．
∴P₂（-2，1）．
綜上所述，點P的坐標為（2，5）或（-2，1）．
另解：（3）由（2）得  C（-1，2）．
又由 A（0，3），得AC==．
根據題意，設點P的坐標為P（m，m+3）．
∵△ABP與△ABC同高，
于是，當S_△ABP=2S_△ABC時，得AP=2AC=2 
∴AP²=8．
即得m²+（m+3-3）²=8．
解得m₁=2，m₂=-2．
∴m+3=5或1．
∴點P的坐標為（2，5）或（-2，1）．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求函數的解析式，平移的性質，兩點間的距離公式，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．