Question

如圖，在△ABC和△DBC中，已知∠ACB=∠DBC=90°，點E為BC的中點，DE⊥AB，垂足為F，且AB=DE．
（1）求證：△DBC是等腰Rt△；
（2）若BD=8cm，求AC的長；
（3）在（2）的條件下求BF的長．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥AB，
∴∠4=90°=∠ACB=∠EBD，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ACB和△EBD中，
∵，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BC=BD，
∵∠EBD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形；

（2）解：∵BC=BD=8cm，△ACB≌△EBD，
∴AC=BE，
∵E為BC中點，
∴BE=BC=4cm，
∴AC=BE=4cm；

（3）解：在Rt△EBD中，BD=8cm，BE=4cm，由勾股定理得：DE=4cm，
在△EBD中，S_△EBD=×BE×BD=×DE×BF，
∴BE×BD=DE×BF，
∴4cm×8cm=4cm×BF，
∴BF=cm．
分析：（1）根據三角形的內角和定理求出∠1=∠3，根據AAS推出△ACB≌△EBD，推出BC=BD即可；
（2）根據全等得出AC=BE，求出BE的長即可；
（3）根據勾股定理求出DE，根據三角形的面積公式即可求出BF．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，等腰直角三角形性質，勾股定理等知識點的綜合運用，通過做此題培養了學生的分析問題和解決問題的能力．