Question

已知拋物線y=-x²+2x+8與x軸交于B、C兩點，點D平分BC．若在x軸上側的A點為拋物線上的動點，且∠BAC為銳角，則AD的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由“∠BAC為銳角”可知點A在以定線段BC為直徑的圓外，又點A在x軸上側，從而可確定動點A的范圍，進而確定AD的取值范圍．

解答：解：如圖，∵拋物線y=-x²+2x+8，
∴拋物線的頂點為A₀（1，9），
對稱軸為x=1，
與x軸交于兩點B（-2，0）、C（4，0），
分別以BC、DA為直徑作⊙D、⊙E，則
兩圓與拋物線均交于兩點P（1-2

2

，1）、Q（1+2

2

，1）．
可知，點A在不含端點的拋物線

PA0Q

內時，∠BAC＜90°，
且有3=DP=DQ＜AD≤DA₀=9，
即AD的取值范圍是3＜AD≤9．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，解題時首先求出拋物線的頂點坐標和與x軸的交點坐標，然后利用已知條件探究即可解決問題．