Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，把一個三角板的直角頂點放在點D處，將三角板繞點D旋轉且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F．
（1）如圖1，觀察旋轉過程，猜想線段AF與BE的數量關系并證明你的結論；
（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數量關系，直接寫出你的結論（不需證明）；
（3）如圖3，若將“AB=AC，點D是BC的中點”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點D”，其余條件不變，探索（1）中結論是否成立？若不成立，請探索關于AF、BE的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線：連接AD，利用等腰三角形中的三線合一，即可證得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，證得∠5=∠4，則可得△BDE≌△ADF，則AF=BE；
（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF²=BE²+FC²；
（3）可證得有兩角對應相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函數即可求得比值．
解答：（1）結論：AF=BE．
證明：連接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．
∴∠3+∠5=90°．
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5=∠4，
∵BD=AD，
∴△BDE≌△ADF．
∴BE=AF．

（2）根據（1）可得BE=AF，
所以AB-BE=AC-AF，
即AE=FC，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=AF²+AE²，
∴EF²=BE²+FC²．

（3）（1）中的結論BE=AF不成立
∵∠B=30°，AD⊥BC于點D，∠BAC=90°，
∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°
∴∠B=∠2，∠5=∠4．
∴△BDE∽△ADF．
∴．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質．此題圖形變化很多，而且圖形復雜，屬于中等難度的題目，解題時要注意數形結合思想的應用．