Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點F．
（1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？
（2）若∠BAC=40°，AB=4，求

DF

的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接AD，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可求得AD⊥BC，又由DC=BD，即可證得AB=AC；
（2）由∠BAC=40°，AB=AC，即可求得∠DOF的度數，又由AB=4，即可求得

DF

的長．

解答：解：（1）AB=AC．理由：
連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）連接OD，OF，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵OB=OC，
∴∠ODB=∠B=70°，
∴∠BOD=40°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠A=40°，
∴∠AOF=100°，
∴∠DOF=180°-∠AOF-∠BOD=180°-100°-40°=40°，
∵AB=4，
∴OD=2，
∴

DF

的長為：

40×π×2

180

=

4

9

π．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質以及弧長公式．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．