Question

在平面直角坐標系中，直線y=

2 3

3

kx+m（-

1

2

≤k≤

1

2

）經過點A（2

3

，4），且與y軸相交于點C．點B在y軸上，O為坐標原點，且OB=OA+7-2

7

．記△ABC的面積為S．
（1）求m的取值范圍；
（2）求S關于m的函數關系式；
（3）設點B在y軸的正半軸上，當S取得最大值時，將△ABC沿AC折疊得到△AB′C，求點B′的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據點在直線上的意義可知

2 3

3

×2

3

k+m=4，k=1-

1

4

m．因為-

1

2

≤k≤

1

2

，即-

1

2

≤1-

1

4

m≤

1

2

．解得2≤m≤6．
（2）根據題意易得：OA=2

7

，OB=7．所以B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．
直線y=

2 3

3

kx+m與y軸的交點為C（0，m）．
當點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7-m）；
當點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7+m）．
（3）分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
利用Rt△ACD中的關系：tan∠ACD=

AD

CD

=

3

，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
再利用Rt△B'CE中的線段之間的關系可求得，CE=

5

2

，B′E=

5 3

2

．故OE=CE-OC=

1

2

．所以點B′的坐標為（

5 3

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）∵直線y=

2 3

3

kx+m（-

1

2

≤k≤

1

2

）經過點A（2

3

，4），
∴

2 3

3

×2

3

k+m=4，
∴k=1-

1

4

m．
∵-

1

2

≤k≤

1

2

，∴-

1

2

≤1-

1

4

m≤

1

2

．
解得2≤m≤6．

（2）∵A的坐標是（2

3

，4），∴OA=2

7

．
又∵OB=OA+7-2

7

，∴OB=7．∴B點的坐標為（0，7）或（0，-7）．
直線y=

2 3

3

kx+m與y軸的交點為C（0，m）．
①當點B的坐標是（0，7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．
∴S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7-m）．
②當點B的坐標是（0，-7）時，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．
∴S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7+m）．

（3）當m=2時，一次函數S=-

3

m+7

3

取得最大值5

3

，這時C（0，2）．
如圖，分別過點A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
則AD=2

3

，CD=4-2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=

AD

CD

=

3

，
∴∠ACD=60°．
由題意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE=

5

2

，B′E=

5 3

2

．
故OE=CE-OC=

1

2

．
∴點B′的坐標為（

5 3

2

，-

1

2

）．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．