Question

【題目】如圖，在中，直徑經過弦的中點，點在上，的延長線交于于點，交過的直線于，，連接與交于點.

（1）求證:是的切線；

（2）若點是的中點，的半徑為3，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據切線的判定定理得出∠1+∠BDO=90°，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠C，再利用相似三角形的判定方法得出即可；根據已知得出OE的長，進而利用勾股定理得出ED，AD，BD的長，即可得出CD，利用相似三角形的性質得出NB的長即可．

（1）證明：∵直徑經過弦的中點，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴是的切線.

（2）解：連接.

∵是直徑，

∴，

∴，

即，

∴，

∵，

∴；

∵的半徑為3，即，

在中，，

設OE=x，ED=x，

由勾股定理得；OE2+ED2=OD2

解得：，

由此可得：，

由勾股定理可得：

，

，

，

∵是直徑，，

∴由垂徑定理得：，

∵，

∴，

∵點是的中點，，

∴，

∴.