Question

如果將點P繞定點M旋轉180°后與點Q重合，那么稱點P與點Q關于點M對稱，定點M叫做對稱中心．此時，點M是線段PQ的中點．在平面直角坐標系中，△ABO的頂點A，B，O的坐標分別為（1，0）、（0，1）、（0，0）．點列P₁、P₂、P₃、…，中的相鄰兩點都關于△ABO的一個頂點對稱：點P₁與點P₂關于點A對稱，點P₂與點P₃關于點B對稱，點P₃與點P₄關于點O對稱，點P₄與點P₅關于點A對稱，點P₅與點P₆關于點B對稱，點P₆與點P₇關于點O對稱，…，對稱中心分別是A，B，O，A，B，O，…，且這些對稱中心依次循環．已知點P₁的坐標是（1，1），則點P₂₀₁₂的坐標為（　　）

A．（1，1）

B．（-1，3）

C．（1，-1）

D．（1，3）

Answer 1

分析：根據中心對稱及平面直角坐標系中的有關知識，可以求得點P₁關于點A的對稱點坐標，以及點P₂關于點B的對稱點坐標，點P₃關于點O的對稱點P₄，進而得出可以看出，點P₇的坐標和點P₁的坐標相同，以后依此對應相等，點P的坐標每6個一循環，2012包含335個6，余數是2，所以得出第2012個點P的坐標．

解答：解：∵點P₁（1，1）關于點A的對稱點是P₂（1，-1），
點P₂關于點B的對稱點是P₃（-1，3），點P₃關于點O的對稱點P₄（1，-3），
點P₄關于點A的對稱點P₅（1，3），點P₅關于點B的對稱點是P₆（-1，-1），
點P₆關于點O的對稱點是P₇（1，1），
可以看出，點P₇的坐標和點P₁的坐標相同，
以后依此對應相等，點P的坐標每6個一循環，
2012包含335個6，余數是2，
所以第2012個點P的坐標和第2個點P的坐標相同是（1，-1）．
故選：C．

點評：此題主要考查了平面直角坐標系中中心對稱的性質，以及找規律問題，根據已知得出點P的坐標每6個一循環是解題關鍵．