Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD為邊AB上的中線，若E是射線CA上任意一點，DF⊥DE，交直線BC于F點．G為EF的中點，連接CG并延長交直線AB于點H．
（1）如圖①，若E在邊AC上．試說明：①AE=CF； ②CG=GD；
（2）如圖②，若E在邊CA的延長線上．（1）中的兩個結論是否仍成立？（直接寫出成立結論的序號，不要說明理由）
（3）若AE=3，CH=5，求邊AC的長．

Answer 1

（1）證明：①如圖①．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD為邊AB上的中線，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED與△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，G為EF的中點，
∴CG=EF．
∵DF⊥DE，G為EF的中點，
∴GD=EF．
∴CG=GD；

（2）解：①②還成立．
①AE=CF，證明如下：
如圖②，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°．
∵CD為邊AB上的中線，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°，∠FCD=180°-∠BCD=135°，
∴∠EAD=∠FCD．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED與△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
②CG=GD．證明如下：
Rt△EFC中，點G是EF邊的中點，則CG=EF．
在Rt△EFD中，點G是EF邊的中點，則GD=EF．
則CG=GD；

（3）解：AC=7或1，理由是：
∵AC=BC，CD是AB邊上的中線，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=CH=×5=2.5，
∵∠EDF=90°，G為EF中點，
∴DG=EF，
∴EF=5，
∵AE=3，
∴由（1）知AE=CF，
∴CF=3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC==4，
∴AC=AE+CE=3+4=7；
如圖②，同理求出EF=5，CF=3，
在R△ECF中，根據勾股定理求出CE=4，
則AC=CE-AE=4-3=1，
綜合上述：AC=7或1．
分析：（1）①通過全等三角形（△AED≌△CFD）的對應邊相等證得AE=CF；
②根據Rt△ECF和Rt△EDF斜邊上中線的性質來證明CG=GD；
（2）①②都成立．思路同（1）；
（3）求出EF的長是5，在Rt△ECF中，CF=3，根據勾股定理求出EC，即可求出AC．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，直角三角形斜邊上中線性質，勾股定理等知識點的綜合運用，題目具有一定的代表性，證明過程類似．