Question

如圖，已知：△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠B=∠D=30°．
（1）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，求⊙O的半徑和線段AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠O的度數，根據三角形的內角和定理求出∠OAD，根據切線的判定推出即可；
（2）得出等邊三角形AOC，求出OA，根據銳角三角函數的定義得出tanO=，代入求出即可．
解答：（1）解：直線AD與⊙O的位置關系是相切，
理由是：
連接OA，
∵弧AC所對的圓心角是∠AOC，所對的圓周角是∠ABC，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O半徑，
∴AD是⊙O切線，
即直線AD與⊙O的位置關系是相切；

（2）解：∵由（1）知：∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OAD中，tan60°==，
∴AD=6，
答：⊙O半徑是6，AD長是6．
點評：本題考查的知識點是切線的性質和判定，銳角三角函數的定義，等邊三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，圓周角定理等，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．