Question

在平面直角坐標中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點。現將正方形OABC繞O點順時針針旋轉，旋轉角為θ，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉。旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）。

（1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的角度θ；
（3）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論。

Answer 1

解：（1）掃過的面積;
（2）連接AC
由MN//AC可得△BMN為等腰直角三角形
且AM=CN，可知△OAN≌△OCN
∴∠AOM=∠CPN=θ=；
（3）延長BC至點D，使CD=AM
可證△AOM≌△COD
∴∠COD=∠AOM，而∠AOM+∠CON=45°
∴∠COD+∠CON=∠NOD=45°
可證△MON≌△DON
∴MN=CD+CN
∴=BM+BN+MN
             =BM+BN+CN+CD
             =BM+AM+BN+CN
             =AB+BC
             =4
∴P的值不發生變化。