Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，給出下列結論：
①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF．
其中結論正確的共有（　　）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正確）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正確），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正確）．
設EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE=﹣x= ，
∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④錯誤）．
正確的有3個．
故選：C．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．