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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC為圓O的內(nèi)接三角形,BD為⊙O的直徑,AB=AC,AD交BC于E,AE=2,ED=4.
(1)求證:△ABE∽△ADB,并求AB的長;
(2)延長DB到F,使BF=BO,連接FA,那么直線FA與⊙O相切嗎?為什么?
分析:(1)易得△ABE與△ADB的三個內(nèi)角相等,故△ABE∽△ADB,進(jìn)而可得
AB
AD
=
AE
AB
;代入數(shù)據(jù)可得答案.
(2)連接OA,根據(jù)勾股定理可得BF=BO=AB;易得∠OAF=90°,故可得直線FA與⊙O相切.
解答:(1)證明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠C=∠D,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB,(3分)
AB
AD
=
AE
AB

∴AB2=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12,
∴AB=2
3
.(5分)

(2)解:直線FA與⊙O相切.(6分)
理由如下:精英家教網(wǎng)
連接OA,
∵BD為⊙O的直徑,
∴∠BAD=90°,
∴BD=
AB2+AD2
=
12+(2+4)2
=
48
=4
3

∴BF=BO=
1
2
BD=
1
2
×4
3
=2
3

∵AB=2
3

∴BF=BO=AB,
∴∠OAF=90°.
∴直線FA與⊙O相切.(8分)
點(diǎn)評:本題考查常見的幾何題型,包括切線的判定及相似三角形證明與性質(zhì)的運(yùn)用,要求學(xué)生掌握常見的解題方法,并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題.
練習(xí)冊系列答案
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(2)延長DB到F,使BF=BO,連接FA,那么直線FA與⊙O相切嗎?為什么?

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