Question

將兩個全等的直角三角形ABC和DBE如圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．
（1）求證：AF+EF=DE；
（2）若將圖①中的直角三角形ABC繞點B順時針方向旋轉，且∠ABD=30°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結論是否仍然成立；
（3）若將圖①中的直角三角形DBE繞點B順時針方向旋轉，且∠ABD=65°，其它條件不變，如圖③，你認為（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，連接BF，根據HL證Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；
（2）畫出圖形，此時AF+EF≠DE，而是AF-EF=DE；
（3）（1）中猜想結論不成立，關系式是AF=EF+DE，連接BF，根據HL證Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．
解答：（1）證明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．
連接BF．
∵在Rt△BCF和Rt△BEF中
，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF=EF，
∵AC=DE，CF+FA=CA，
∴AF+EF=DE；

（2）解：如圖2所示，
此時AF+EF≠DE；

（3）解：（1）中猜想結論不成立，關系式是AF=EF+DE．理由是：
連接BF．
在Rt△BEF和Rt△BCF中
，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=FC，
∵AC=DE，
由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，證明過程類似．