Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若DE=2

3

，求以BC為直徑的半圓的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據平行線分線段成比例定理，以及圓周角定理，即可證明CD是AB的中垂線，即可證得BC=AC，進而即可證得；
（2）在直角△ADE中，利用三角函數即可求得AD，根據：△ABC是等邊三角形，即可求得半徑，從而求解．

解答：（1）證明：連接OD．CD，則OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，
∴AD=BD，
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB，
∴BC=AC，
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形；

（2）解：在直角△ADE中，∠A=60°，
∴AD=

DE

sin60°

=

2 3

3 2

=4，
∴OB=BD=AD=4，
∴以BC為直徑的半圓的面積是：

1

2

π×4²=8π．

點評：題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．