Question

如圖，已知等腰梯形的一個底角是60°，它的兩底分別是6cm，16cm，則等腰梯形的周長是

42cm

，面積是

55

3

cm2

．

Answer 1

分析：先過A、D分別做AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別是E、F，由于四邊形ABCD是等腰梯形，易得AB=CD，AD∥BC，而AE⊥BC，DF⊥BC，易證四邊形AEFD是矩形，從而可知EF=AD=6，AE=DF，根據HL易證Rt△ABE≌Rt△DCF，那么BE=CF，進而可求BE、CF，在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=5，易求AB，再根據勾股定理易求AE，結合梯形周長公式、面積公式易求其值．

解答：解：如右圖所示，
過A、D分別做AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別是E、F，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DFE=∠EAD=90°，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=6，AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF=

1

2

（16-6）=5，
在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=5，
∴AB=BE=10，AE=5

3

，
∴梯形的周長=6+16+2×10=42，
S_梯形=

1

2

（6+16）×5

3

=55

3

．
故答案是42；55

3

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的性質、含有30°的直角三角形的性質、矩形的判定和性質，解題的關鍵是作輔助線，證明四邊形AEFD是矩形．