Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點H為DC上一點，BD、AH交于點O，△ABO為等邊三角形，點E在線段AO上，OD＝OE，連接BE，點F為BE的中點，連接AF并延長交BC于點G，且∠GAD＝60°．

（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的長；

（2）求證：BD＝AB+AE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

（1）延長AH、BC相交于點M，可證明△MCH∽△MBA，得出MH=AH，BM=2BC；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH是等邊三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得點E是OA的中點，根據“三線合一”可得BE的長度、BE⊥OA，根據勾股定理求出BM的長，而BC= BM；

（2）AB=OB，由（1）知，AE=OE=OD，可證BD=OB+OD=AB+AE．

解：延長AH、BC相交于點M，

∵ABCD

∴CD＝AB＝4，CD∥AB

∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA

∴△MCH∽△MBA

∵CH＝2

∴MH＝AH，BM＝2BC

∵△ABO為等邊三角形

∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4

∴∠DOH＝∠AOB＝60°

∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°

∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD

∴△DOH是等邊三角形

∴OH＝OD＝DH＝2

∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10

∵OD＝OE＝2

∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2

∴點E是OA的中點

∵△ABO為等邊三角形

∴BE⊥OA，∠ABE＝30°

在Rt△BEM中，∠BEM＝90°

∴BE2+EM2＝BM2

（2）∵△ABO為等邊三角形

∴AB＝OB

由（1）知，AE＝OE＝OD

∵BD＝OB+OD

∴BD＝AB+AE