Question

已知：五位數

.

abcde

滿足下列條件：
（1）它的各位數字均不為零；
（2）它是一個完全平方數；
（3）它的萬位上的數字a是一個完全平方數，干位和百位上的數字順次構成的兩位數

.

bc

以及十位和個位上的數字順次構成的兩位數

.

de

也都是完全平方數．
試求出滿足上述條件的所有五位數．

Answer 1

分析：設M2=

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abcde

，且a=m²（一位數），

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bc

=n 2（兩位數），

.

de

=t2（兩位數），則M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①
由式①知M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②，比較式①、式②得n²=2mt．然后討論即可得出答案．

解答：解：設M2=

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abcde

，且a=m²（一位數），

.

bc

=n 2（兩位數），

.

de

=t2（兩位數），則M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①
由式①知M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②
比較式①、式②得n²=2mt．
因為n²是2的倍數，故n也是2的倍數，所以，n²是4的倍數，且是完全平方數．
故n²=16或36或64．
當n²=16時，得mt=8，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；
故M²=11664或41616．
當n²=36時，得mt=18．則m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合條件，舍去．
故M²=43681或93636．
當n²=64時，得mt=32．則m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合條件，舍去．
因此，滿足條件的五位數只有4個：11664，41616，43681，93636．

點評：本題考查了完全平方數，難度較大，關鍵是設M2=

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abcde

，且a=m²（一位數），

.

bc

=n 2（兩位數），

.

de

=t2（兩位數），然后表示出M²的形式．