Question

【題目】△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上（端點B除外），

∠EDB=∠C，BE⊥DE于點E，DE與AB相交于點F，過F作FM∥AC交BD于M．
（1）當AB=AC時（如圖1），求證：①FM=MD；②FD=2BE；
（2）當AB=kAC時（k＞0，如圖2），用含k的式子表示線段FD與BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明證明見解析（2）=

【解析】試題分析：（1）①利用等腰直角三角形得出結合平行線的性質得出∠DMF=∠MFD，進而得出答案；②根據題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質，得到BE與FD的數量關系；

（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質得到BE與FD的數量關系．

試題解析：（1）①∵AB=AC，∠A=90°

∴∠ABC=∠C=45°

∵∠EDB=∠C

∴∠EDB=22.5°

∵FM∥AC，

∴∠FMB=45°，

∴∠MFD=22.5°，

∴∠DMF=∠MFD，∴MF=MD；

②在△BEF和△DEB中∵∠E=∠E=90°∠EBF=∠EDB=22.5°

∴△BEF∽△DEB

如圖1：作BG平分∠ABC，交DE于G點，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形

設EF=x，BE=y，

則：BG=GD=y，FD=y+y-x

∵△BEF∽△DEB

∴=，得：x=（-1）y

∴FD=2BE；

（2）如圖2，過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，與BA交于點N，

∵DG∥AC，

∴∠GDB=∠C，

∵∠EDB=∠C，

∴∠EDB=∠GDE，

∵BE⊥DE，

∴∠BED=∠DEG，

∴△DEG≌△DEB（ASA），

∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，

∴△GBN∽△FDN，

∴=即=

又∵DG∥AC，

∴△BND∽△BAC，

∴=即==k

∴=