Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是AD的中點(diǎn)，AD=4，BC=6，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），PE與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)PB的長為x．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△BOP∽△DOE．
（2）當(dāng)x=

2

時(shí)，四邊形ABPE是平行四邊形；當(dāng)x=

3

時(shí)，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形ABPE會(huì)不會(huì)是等腰梯形？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）△BOP和△DOE中，已知的條件有：對頂角∠BOP=∠DOE；根據(jù)AD∥BC，可得出內(nèi)錯(cuò)角∠PBO=∠EDO，由此可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）由于AE∥BP，所以當(dāng)BP=AE=2時(shí)，四邊形ABPE是平行四邊形；由于AE∥BP，所以當(dāng)P為BC的中點(diǎn)，即BP=3時(shí)，可證EP⊥BC，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）由于AE∥BP，梯形ABCD是等腰梯形，所以當(dāng)PB=4，PC=ED=2時(shí)，四邊形CDEP是平行四邊形，此時(shí)四邊形ABPE是等腰梯形．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PBO=∠EDO．
∵∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；

（2）∵E是AD的中點(diǎn)，AD=4，
∴AE=DE=2．
∵AE∥BP，
∴當(dāng)BP=AE，即x=2時(shí)，四邊形ABPE是平行四邊形．如圖1；
如圖2．
連接BE、CE．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D．
在△ABE與△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∴當(dāng)BP=CP=

1

2

BC=3時(shí)，EP⊥BC，
又∵AE∥PB且AE≠PB，
∴四邊形ABPE是直角梯形．
∴當(dāng)x=3時(shí)，四邊形ABPE是直角梯形．
故答案為2，3；

（3）當(dāng)PB=4時(shí)，四邊形ABPE是等腰梯形．理由如下：
∵AD∥BC即DE∥PC，
∴當(dāng)PC=DE=2，即PB=BC-PC=4時(shí)，四邊形PCDE是平行四邊形，
∴PE=CD，
又∵AB=CD，
∴PE=AB．
∵AE∥PB且AE≠PB，
∴四邊形ABPE是等腰梯形．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)，平行四邊形、直角梯形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．