Question

已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．
（1）求證：AD=BD；
（2）求證：DF是⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為3，sin∠F=，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CD，由圓周角定理易得CD⊥AB，又有AC=BC，故AD=BD．
（2）連接OD，根據三角形中角的互余關系可得∠ODF=90°，故DF是⊙O的切線．
（3）根據三角函數的定義，可得sin∠F=，進而可得CF=5-3=2，再根據比例的關系，代入數據可得答案．
解答：（1）證明：如圖，連接CD，（1分）
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB．（2分）
∵AC=BC，
∴AD=BD．（3分）

（2）證明：連接OD，（4分）
∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DCO．
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO．
∴∠CDO=∠ADE．
由（1）得∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠CDE=90°．（5分）
即∠ODF=90°．
∴DF是⊙O的切線．（6分）

（3）解：在Rt△DOF中，
∵sin∠F=，
∴OF=5．（7分）
∵OC=3，
∴CF=5-3=2．
由（2）得∠DEA=∠ODF=90°，
∴OD∥AC．
∴△CEF∽△ODF．（9分）
∴．（10分）
即．
∴DE=．（11分）
點評：本題考查切線的判定，線段等量關系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．