Question

如圖，直線AC∥BD，連結AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連結PA，PB，構成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．(提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角．)

(1)當動點P落在第①部分時，求證：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；

(2)當動點P落在第②部分時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)？

(3)當動點P在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應的結論．選擇其中一種結論加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法一：如圖1 　　延長BP交直線AC于點E 　　∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD． 　　∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA， 　　∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD． 　　解法二：如圖2 　　過點P作FP∥AC， 　　∴∠PAC＝∠APF． 　　∵AC∥BD，∴FP∥BD． 　　∴∠FPB＝∠PBD． 　　∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD． 　　解法三：如圖3， 　　∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180° 　　即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°． 　　又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°， 　　∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD． 　　(2)不成立． 　　(3)(a)當動點P在射線BA的右側時，結論是∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 　　(b)當動點P在射線BA上，結論是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD(任寫一個即可)． 　　(c)當動點P在射線BA的左側時， 　　結論是∠PAC＝∠APB＋∠PBD． 　　選擇(a)證明： 　　如圖4，連接PA，連接PB交AC于M 　　∵AC∥BD， 　　∴∠PMC＝∠PBD． 　　又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM， 　　∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 　　選擇(b)證明：如圖5 　　∵點P在射線BA上，∴∠APB＝0°． 　　∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC． 　　∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD． 　　選擇(c)證明： 　　如圖6，連接PA，連接PB交AC于F 　　∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD． 　　∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA， 　　∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD．