Question

【題目】已知，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于點H．

（1）如圖1，連接OA、OC，若BH=AC，求∠AOC的度數．

（2）如圖2延長BE交⊙O于點G，求證：HE=GE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，P是弦AC上一點，過點P作PM∥BC交AB于點M，若∠PCD+2∠PDC=90°，BM=，AM=，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）5

【解析】

（1）由“AAS”可證△BDH≌△ADC，可得BD＝AD，可得∠DBA＝∠DAB＝45°，由圓周角定理可求∠AOC的度數；

（2）連接AG，證明∠AHG＝∠G，可得AH＝AG，利用等腰三角形的性質可得HE＝GE；

（3）由平行線分線段成比例可求，通過證明△ADC∽△BAH，可求BH的長，即可求解．

解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠EBC＝90°，

∴∠DAC＝∠EBC，且∠BDH＝∠ADC＝90°，BH＝AC，

∴△BDH≌△ADC（AAS）

∴BD＝AD，且AD⊥BD，

∴∠DBA＝∠DAB＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°；

（2）連接AG，

∵∠GAC＝∠GBC，且∠GAC＋∠G＝90°，∠GBC＋∠BHD＝90°，

∴∠G＝∠BHD，

∵∠BHD＝∠AHG，

∴∠AHG＝∠G，

∴AH＝AG，且AC⊥BE，

∴HE＝GE；

（3）連接BO并延長交圓O于H，連接AH，

∵PM∥BC，

∴，

∵∠PCD＋2∠PDC＝90°，

∴∠PCD＝90°2∠PDC，

∵∠APD＝∠PCD＋∠PDC＝90°∠PDC，且∠ADP＝90°∠PDC，

∴∠APD＝∠ADP，

∴AD＝AP，

∵PM∥BC，

∴，

∴，

∵BH是直徑，

∴∠BAH＝90°＝∠ADC，且∠H＝∠ACB，

∴△ADC∽△BAH，

∴，

∴，

∴BH＝10，

∴⊙O半徑為5．