Question

13、如圖⊙P內含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點C，且AB∥OP．若陰影部分的面積為16π，則弦AB的長為

8

．

Answer 1

分析：如圖，過O點作OD⊥AB，垂足為D，連接PC，AO，設⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r，由直線與圓相切的性質可知PC=r，又OP∥AB，則OD=PC=r，陰影部分面積可表示為π（R²-r²）=π（AO²-OD²），由已知可求AO²-OD²的值，在Rt△AOD中，由勾股定理可求AD，由垂徑定理可知AB=2AD．

解答：解：如圖，過O點作OD⊥AB，垂足為D，連接PC，AO，
設⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r，
∵AB與⊙P相切于C點，
∴PC⊥AB，PC=r，
又OP∥AB，
∴OD=PC=r，
由已知陰影部分面積為16π，得
π（R²-r²）=16π，即R²-r²=16，
∴AO²-OD²=R²-r²=16，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD²=AO²-OD²=16，
即AD=4，
由垂徑定理可知AB=2AD=8．
故答案為：8．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．