Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=12厘米，點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點(diǎn)重合．如果等腰△PQR以2厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向勻速運(yùn)動，t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米．
（1）當(dāng)t=2時，求S的值；
（2）當(dāng)6≤t≤10時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)t=2時，Q點(diǎn)遠(yuǎn)動到BC中點(diǎn)處，首先得出∠QMC=90°，進(jìn)而求出S_△MQC=

1

2

QM•MC得出答案即可；
（2）根據(jù)當(dāng)t=6時，點(diǎn)R運(yùn)動到點(diǎn)C處，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A處，即可得出△FBR為Rt△，進(jìn)而求出RC=2t-12，F(xiàn)B=

1

2

BR=10-t，F(xiàn)R=

3

（10-t），即可求出S_△FBR=

1

2

FB•FR=

3

2

（t-10）²，
再利用函數(shù)最值求出即可．

解答：解：（1）由題意得：當(dāng)t=2時，Q點(diǎn)遠(yuǎn)動到BC中點(diǎn)處，如圖所示，此時三角形與梯形的重合部分為△MQC，其中點(diǎn)M為PQ與CD的交點(diǎn)，
易知QC=4，∠PQC=30°，∠QCM=60°，∴∠QMC=90°，
在Rt△QMC中，有MC=2，QM=2

3

，
可以S_△MQC=

1

2

QM•MC=

1

2

×2

3

×2=2

3

（cm ²）；

（2）當(dāng)t=6時，點(diǎn)R運(yùn)動到點(diǎn)C處，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A處，因此當(dāng)6≤t≤10時，點(diǎn)P在點(diǎn)A及其左側(cè)，
如圖所示，點(diǎn)F為AB與PR的交點(diǎn)，
△PQR與梯形ABCD的重合部分為△MQC，
由于∠FBR=60°，∠FRB=30°，
∴△FBR為Rt△，
∵RC=2t-12，
∴BR=BC-RC=8-（2t-12）=20-2t=2（10-t），
∴FB=

1

2

BR=10-t，
FR=

3

（10-t），
故S_△FBR=

1

2

FB•FR=

3

2

（10-t）²，
即S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=

3

2

（10-t）²，（6≤t≤10），
當(dāng)t=6時，S取到最大值且最大值為：S=8

3

（cm ²）．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)一級函數(shù)最值求法等知識，根據(jù)已知得出，∠QMC=90°和△FBR為Rt△是解題關(guān)鍵．