Question

如圖，點P為x軸正半軸上的一個點，過點P作x軸的垂線，交函數y=

1

x

的圖象于點A，交函數y=

4

x

的圖象于點B，過點B作x軸的平行線，交y=

1

x

于點C，連接AC．
（1）當點P的坐標為（1，0）時，求△ABC的面積；
（2）當點P的坐標為（1，0）時，在y軸上是否存在一點Q，使A、C、Q三點為頂點的三角形△QAC為等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，說明理由．
（3）請你連接QA和OC，當點P的坐標為（t，O）時，△ABC的面積是否隨t的值的變化而變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點P的坐標和函數的解析式可以分別求得點A、B、C的坐標，進一步求得三角形的面積；
（2）分類討論：①以AC為底的等腰△AOQ；②以AQ為底的等腰△AOQ；③以QC為底的等腰△AOQ；
（3）根據（1）中的方法進行求解，看最后的結果是否為一個定值即可．

解答：解：（1）根據題意，得點A、B的橫坐標和點P的橫坐標相等，即為1．
∵點A在函數y=

1

x

（x＞0）的雙曲線上，
∴A點縱坐標是：y_A=

1

1

=1，
∵點B在函數

4

x

（x＞0）的圖象上，
∴B點的縱坐標是：y_B=

4

1

=4．
∵BC∥x軸，
∴點C、B的縱坐標相等，即y_B=y_C=4．
∵點C在函數y=

1

x

（x＞0）的雙曲線上，
∴C點橫坐標是：x_C=

1

yC

=

1

4

，
∴AB=3，BC=

3

4

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×3×

3

4

=

9

8

，即△ABC的面積是

9

8

；

（2）設Q（0，y）．由（1）知，A（1，1），C（

1

4

，4）．
①當以AC為底時，QA=QC，則

12+(y-1)2

=

( 1 4 )2+(y-4)2

，解得，y=

75

32

，即Q₁（0，

75

32

）；
②當以AQ為底時，QC=AC，即

( 1 4 )2+(y-4)2

=

(1- 1 4 )2+(1-4)2

，解得，y=4+

38

2

或y=4-

38

2

，即Q₂（0，4+

38

2

），Q₃（0，4-

38

2

）；
③當以CQ為底時，QA=AC，即

12+(y-1)2

=

(1- 1 4 )2+(1-4)2

，解得，y=

4+ 137

4

，或y=

4- 137

4

，即Q₄（0，

4+ 137

4

），Q₅（0，

4- 137

4

）；
綜上所述，符合條件的點Q的坐標分別是：Q₁（0，

75

32

），Q₂（0，4+

38

2

），Q₃（0，4-

38

2

），Q₄（0，

4+ 137

4

），Q₅（0，

4- 137

4

）；

（3）△ABC的面積不隨t的值的變化而變化．理由如下：
∵根據（1）中的思路，可以分別求得點A（t，

1

t

），B（t，

4

t

），C（

t

4

，

4

t

）．
∴AB=

3

t

，BC=

3

4

t，
∴△ABC的面積是

9

8

．
∴△ABC的面積不會隨著t的變化而變化．

點評：本題考查了反比例函數綜合題．解答此題時要能夠根據解析式熟練地求得各個點的坐標，根據坐標計算相關線段的長度．