Question

已知：如圖，矩形ABCD，M、N分別為AB、CD的中點，將A點折疊至MN上，落在A'點的位置，折痕為BE．
（1）求∠ABE的度數；
（2）連接EN、BN，若EN⊥BE，BN=

21

，求矩形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質及折疊的性質得出A'B=2BM，從而利用含30°角的直角三角形的性質，可得出答案．
（2）設AE=x，先表達出BE、EN，然后在RT△EBN中分別求出BE、AE的長度，繼而得出AB、AD的長度，從而可得出矩形ABCD的周長．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∠BAE=∠D=90°，
∵M、N分別為AB、CD的中點，
∴AM=

1

2

AB，DN=

1

2

CD，
∴AM=DN，
∴四邊形AMND是矩形，
∴∠BMN=90°，
由折疊的性質得：A′B=AB=2BM，
∴∠BA′M=30°，
∴∠A′BM=60°，
∴∠ABE=

1

2

∠A′BM=30°；

（2）∵∠ABE=30°，∠BAE=90°，
∴BE=2AE，∠AEB=60°，
∵EN⊥BE，
∴∠BEN=90°，
∴∠DEN=90°-∠AEB=30°，
∴EN=2DN=AB，
設AE=x，則EN=AB=

3

x，BE=2x，
在RT△EBN中，EB²+EN²=BN²，即3x²+4x²=21，
解得：x=

3

，
從而可得AB=3，AD=AE+ED=

3

+

3 3

2

=

5 3

2

，
故矩形ABCD的周長為：2（AB+AD）=2（3+

5 3

2

）=6+5

3

．

點評：此題考查了翻折變換的知識，涉及了含30°角的直角三角形的性質、勾股定理，解答本題的關鍵是求出∠BAE=30°，這是解答各問的突破口．