Question

和拋物線y=8x²+10x+1只有一個公共點（-1，-1）的直線解析式為（　　）

• A、y=-6x-7
• B、x=-1
• C、y=-6x-7或x=-1
• D、y=-1

Answer 1

分析：當過點（-1，-1）的直線平行于拋物線對稱軸時，公共點只有一個；當過點（-1，-1）的直線不平行于拋物線對稱軸時，設直線y=kx+b，將點（-1，-1）代入，再與拋物線解析式聯立解方程組，當△=0時，只有一個公共點．

解答：解：當過點（-1，-1）的直線平行于拋物線對稱軸時，公共點只有一個，此時直線為x=-1；
當過點（-1，-1）的直線不平行于拋物線對稱軸時，設直線y=kx+b，
將點（-1，-1）代入，得-k+b=-1，即b=k-1，
聯立

y=8x2+10x+1 y=kx+b

，
解得8x²+（10-k）x+1-b=0，
當△=0時，只有一個公共點，
即（10-k）²-32（1-b）=0，
（10-k）²-32（1-k+1）=0，
整理得k²+12k+36=0，解得k₁=k₂=-6，
∴b=k-1=-7，
所求直線為y=-6x-7或x=-1．
故選C．

點評：本題考查了二次函數的性質與判別式的運用，關鍵是將所求直線分為與拋物線的對稱軸平行和不平行兩種情況，分別求解．