Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D是BC延長線上的一個動點，以AD為邊作等邊△ADE，過點E作BC的平行線，分別交AB，AC的延長線于點F，G，聯結BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）如果BC=CD，判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，求出∠BAE=∠CAD，根據SAS推出即可；
（2）根據全等得出BE=CD，∠ABE=∠ACD=120°，求出∠CBE=60°，推出BE∥AG，得出平行四邊形，根據BE=CD=BC即可得出菱形．
解答：
證明：（1）∵等邊△ABC和等邊△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，
∵∠BAE+∠EAC=60°，∠DAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△AEB和△ADC中

∴△AEB≌△ADC（SAS）；

（2）解：四邊形BCGE的形狀是菱形，
理由是：∵△AEB≌△ADC
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠ACD=∠BCG=120°，
∴∠DBE=60°，
∴∠BCG+∠DBE=180°，
∴BE∥CG，
∵BC∥EG，
∴四邊形BCGE是平行四邊形，
∵BC=CD，
∴BE=BC，
∴四邊形平行四邊形BCGE是菱形．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，菱形的判定，平行四邊形的判定等知識點的應用，主要考查學生的推理能力．