Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知點M的坐標是（3，0），半徑為2的⊙M交x軸于E、F

兩點，過點P（－1，0）作⊙M的切線，切點為點A，過點A作AB⊥x軸于點C，交⊙M于

點B。拋物線y＝ax²＋bx＋c經過P、B、M三點。

1.（1）求該拋物線的函數表達式；（3分）

2.（2）若點Q是拋物線上一動點，且位于P、B兩點之間，設四邊形APQB的面積為S，點Q的

橫坐標為x，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值和此時點Q的坐標；（4分）

3.（3）如圖2，將弧AEB沿弦AB對折后得到弧AE′B，試判斷直線AF與弧AE′B的位置關系，

并說明理由。（3分）

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）如圖5，依題意，可知：

            點

∵拋物線y＝ax²＋bx＋c經過P、B、M三點

∴

解得： 

∴拋物線的解析式為：

2.（2）如圖6，依題意設點Q的坐標為（x，y₀），

過點Q作QN⊥x軸交于點N，連接QP、QB

        ∵點Q是拋物線上一動點，且位于P、B兩點之間，

        ∴，－1≤x≤2

∴四邊形APQB的面積為S為：

 

  ；（其中，－1≤x≤2）

即：；（其中，－1≤x≤2）

∴ 當時，四邊形APQB的面積S有最大值，,

   此時，，，點Q的坐標為（－1，0），

3.（3）直線AF與弧AE′B相切，理由如下：

如圖7，由（1）可知，PA是⊙M的切線，且

       點

∴△ACP≌△ACF

∵將弧AEB沿弦AB對折后得到弧AE′B

∴PA是弧AEB的切線

∴FA是弧AE′B的切線

            即：直線AF與弧AE′B相切

 

【解析】略