Question

已知，邊長為5的正方形ABCO在如圖所示的直角坐標系中，點M（t，0）為x軸上一動點，過A作直線MC的垂線交y軸于點N．
（1）當t=2時，求直線MC的解析式；
（2）設△AMN的面積為S，當S=3時，求t的值；
（3）取點P（1，y），如果存在以M、N、C、P為頂點的四邊形是等腰梯形，當t＜0時，甲同學說：y與t應同時滿足方程t²-yt-5=0和y²-2t²-10y+26=0；乙同學說：y與t應同時滿足方程t²-yt-5=0和y²+8t-24=0，你認為誰的說法正確，并說明理由．再直接寫出t＞0時滿足題意的一個點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵邊長為5的正方形ABCO在如圖所示的直角坐標系中，
∴將x=0，y=5代入y=kx+b，解得b=5
∵點M（t，0）為x軸上一動點，過A作直線MC的垂線交y軸于點N，
∴將x=2，y=0代入y=kx+b，解得k=-．
∴當t=2時，直線MC的解析式為：；

（2）CM斜率k=，則AN斜率
設AD的解析式為：y=x+b，
∵過A（-5，0），
∴b=t，
∴N（0，t）
∴S=t²+t（t＞0）t=1，
S=-t²-t（-5＜t＜0）t=-2，t=-3，
S=t²+t（t＜-5）t=-6都正確；

（3）作PH⊥y軸，如圖1：
∵四邊形NPMC是等腰梯形，
∴∠PNH=∠MCO，
∵∠PHN=∠MOC=90°，
∴△PHN∽△MOC，
得，
所以t²-yt-5=0，滿足PN∥CM，
由Rt△PCH得1+（y-5）²=2t²，
所以y²-2t²-10y+26=0，滿足PC=MN，故甲正確；
直線x=1與x軸交于E，由Rt△PME得，
（5-t）²=y²+（1-t）²
所以y²+8t-24=0，滿足PM=CN，故乙正確；
P（1，6）．
分析：（1）根據邊長為5的正方形ABCO在如圖所示的直角坐標系中，和點M（t，0）為x軸上一動點，分別求出k和b的值即可．
（2）分別根據t＞0，-5＜t＜0，t＜-5時，用t表示出△AMN的面積，解一元二次方程即可求出；
（3）作PH⊥y軸，則△PHN∽△MOC，由Rt△PCH得1+（y-5）²=2t²，可證甲正確；
由直線x=1與x軸交于E，由Rt△PME得，（5-t）²=y²+（1-t）²，可證乙正確．
點評：此題涉及到的知識點較多，綜合性強，通過此類題目的練習，利用學生系統的掌握所學知識，是一道很典型的題目．